Question

f(x)dx=(b-a)f(a+b/2)+(b-a)/24f()

利用二阶泰勒公式证明：设函数f(x)二阶可导,求证,存在ξ∈(a,b),使得|(上b,下a)∫f(x)dx-(b-a)f((a+b)/2)|≤(M/24)(b-a)^3,其中M=max(x∈[a,b])|f''(x)|

Answer 1

用泰勒公式在(a+b)/2处展开到第二项,余项写成拉格朗日余项,两边各项从a到b积分（一阶导数那项会消掉）然后把剩下的第一项移到左边,并进积分号里,就是待证式的左边.右边把二阶导数（拉格朗日余项里那个）放成M,剩下的自己积出来,就是(b-a)^3/24