Question

在三角形ABC中角BAC=45°AD垂直BC于D,将三角形ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将三角形ACD沿AC所

的直线折叠，使点D落在F处，分别延长EB,FC使其交与点M。（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明。（2）若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC，
△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD．
又∵△AFC是由△ADC折叠所得，
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD．
∴AE=AF．（2分）
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
∴四边形AEMF是正方形．（5分）

（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x；
根据题意知：BE=BD，CF=CD，
∴BM=x-1；CM=x-2．（7分）
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC2=CM2+BM2
∴（x-1）2+（x-2）2=9，
x2-3x-2=0，
解之得： x1=3+172x2=3-172（舍去）．
∴ S正方形AEMF=(3+172)2=13+3172．（10分）
方法二：设：AD=x
∴ S△ABC=12•BC•AD= 32x
∴S五边形AEBCF=2S△ABC=3x（7分）
∵ S△BMC=12BM•CM=12(x-1)(x-2)
且S正方形AEMF=S五边形AEBCF+S△BMC，
∴ x2=3x+12(x-1)(x-2)即x2-3x-2=0，
解之得： x1=3+172， x2=3-172（舍去），
∴ S正方形AEMF=(3+172)2=13+3172．（10分）

Answer 2

因为△AEB=△ABD，所以∠AEB=∠ADB=90°
由此得到∠AFC=90°
因为∠EAB=∠BAD ∠FAC=CAD 所以∠EAB+∠FAC=∠BAD+∠CAD=45°
所以∠EAF=90°
因为EA=AD=AF，所以AEMF为正方形

因为AEMF为正方形，所以∠EMF=90，所以BM^2+CM^2=BC^2
因为EB=BD=1 CF=CD=2 所以BC=BD+CD=3
BM^2+CM^2=BC^2=3^2=9

Answer 3

操 。我也在查。