Question

已知函数f(x)=sin(x/3)cos(x/3)+√3cos^2(x/3)

如果△ABC的三边a,b,c满足b^2=ac,且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数的值域。过程要详细，今天为止，过期作废

Answer 1

∵b^2=ac
由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosx
cosx=(a^2+c^2-ac)/(2ac)=(a^2+c^2)/(2ac)-1/2≥(2ac)/(2ac)-1/2=1/2
∴0≤x≤π/3 (1)
f(x)=sin(x/3)cos(x/3)+√3cos^2(x/3)
=sin(2x/3+π/3)+√3/2
f(x)max=1+√3/2
由(1)知 π/3≤2x/3+π/3≤5π/9
∴f(x)min=sin(π//3)+√3/2=√3
∴函数的值域为[√3, 1+√3/2]

Answer 2

由b^2＝ac可知：a、b、c成等比数列，所以可设a＝b/q、c＝bq，其中q是正数。
由余弦定理，得：b^2＝（b/q）^2＋（bq）^2－2（b/q/）（bq）cosx
两边除以b^2，得：1＝1/q^2＋q^2－2cosx
即：cosx＝（1/q^2＋q^2－1）/2≥（2－1）/2=1/2。
于是：x∈（0，60°］

f（x）＝（1/2）×2sin（x/3）cos（x/3）＋（√3/2）×｛2［cos（x/3）］^2－1＋1｝
＝（1/2）sin（2x/3）＋（√3/2）cos（2x/3）＋√3/2
＝sin（2x/3）cos60°＋cos（2x/3）sin60°＋√3/2
＝sin（2x/3＋60°）＋√3/2
因为x∈（0，60°］，即：0＜x≤60°，得：60°＜2x/3＋60°≤100°
可见：f（x）在x＝45°时，有最大值为1＋√3/2
又sin100°＝sin（180°－80°）＝sin80°＞sin60°
所以f（x）＞sin60°＋√3/2＝√3/2＋√3/2＝√3
于是：f（x）∈（√3，1＋√3/2］

Answer 3

因为b^2=a^2+C^2--2accosB=ac
所以 cosB=(a^2+b^2--ac)/2ac
>=ac/2ac
>=1/2
故B的取值范围为（0，60】