Question

设f(x)=x2+bx+c,x在[-m，m] (m>0)

(1)求证: 当b<2m时 , f(x)在[-m,m]上是减函数 (2)当b<-2m ，在[-m,m]上是否存在一个x使得|f(x)|>=m|b|

Answer 1

1.这个二次方程的对称轴为-b/2，b<2m，则-b/2>-m，注意，对称轴是大于-m的，所以，f(x)在[-m,m]上肯定不是递减的，要么递增，要么就是先增后减。所以此题有误。应该是:
当b>2m时
,
f(x)在[-m,m]上是减函数!这样，对称轴一定要区间的左侧，而此函数是上凸的，当然在此区间为减。要严格证明，只要设
-m<x1<x2<m，代入函数相减即可，很容易证。
2.这一问上问，当b<-2m时，和第一题一样，对称轴-b/2>m，轴在区间右边，故函数在区间上是递增的。这时
f(-m)=m^2-bm+c
f(m)=m^2+bm+c
分类讨论，注意，此时b<0，m>0，所以bm<0,-bm>0
当m^2+c>=0时
m^2-bm+c>-bm=m|b|
当m^2+c<0时
m^2+bm+c<bm,因bm<0，两边同时取绝对值会变号，故|m^2+bm+c|>m|b|
所有，总有一种情况能满足此区间上的函数的绝对值最大值大于等于m|b|
即存在|f(x)|>=m|b|