Question

请问高数这道全微分定理的证明，画红线部分是怎么来的呢？

Answer 1

第一根红线由拉格朗日中值定理得到，你懂的。
第三根红线由第一根红线得到。对比一下上下证明，你会发现，底下有个类似的证y的结构。
其实它相等只是为了强调确实是对f(x,y)的偏x导数，而括号内的θΔx不是证明需要用的，所以试图提出来。而且，因为它是连续的，所以可以提出来。如果不是连续的，那么，有可能找不到ε函数，从而导致后续证明出问题(出现一些多余的东西，不能消掉又没什么用)。
满意请采纳。

Answer 2

你两边同除以Δx比较清楚了，偏导函数连续，所以参考点x到x+Δx的平均斜率＝x到x+Δx内某个点的偏导数=x处的偏导数+一个量t（t在Δx趋于0时是无穷小）。

Answer 3

这个相当是推出来的，把y和∧y当做成0得x的偏导，同理也可以得出y的偏导

Answer 4

惯用写法。经验证，划线的两部分相等即可～

追问

谢谢您，但是总要有理由吧…

追答

很多证明都是这样的，就是凑，或者说构造，有利于后续证明，而且是对的，就行。（像证明柯西中值定理时，就是构造的函数，突然就冒出来的，没有什么具体的很严格的理由）

Answer 5

拉格朗日中值定理