Question

如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ，连接CQ。

1、（1）求证：三角形ABP全等于三角形ACQ
（2）若AB=6.点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长
2、已知三角形EFG中，EF=EG=13，FG=10.如图二把三角形EFG绕点E旋转到三角形EF‘G’的位置，点M是边FG得交点，点N在边EG‘上切EN=EM。连接GN。求E到直线GN的距离

Answer 1

26．(1)直线OB与⊙M相切． ……………………1分
理由：
设线段OB的中点为D，连结MD．……………………2分
因为点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．……………………4分
又因为点D在直线OB上，……………………5分
所以直线OB与⊙M相切．
(2) 解法一：可求得过点A、B的一次函数关系式是y＝3/4 x＋3，………………7分
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．……………………8分
设M(a，－a) (－4＜a＜0) ．
把x＝a，y＝－a代入y＝3/4 x＋3，
得－a＝3/4 a＋3，得a＝－12/7 ．……………………9分
所以点M的坐标为(－12/7 ，12/7 )．……………………10分
解法二：连接ME、MF．设ME＝x(x＞0)，则OE＝MF＝x，……………………6分
AE＝43 x，所以AO＝7/3 x．………………8分
因为AO＝4，所以，7/3 x＝4．
解得x＝12/7 ．……………………9分
所以点M的坐标为(－12/7 ，12/7 )．……………………10分

Answer 2

26．(1)直线OB与⊙M相切． ……………………1分
理由：
设线段OB的中点为D，连结MD．……………………2分
因为点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．……………………4分
又因为点D在直线OB上，……………………5分
所以直线OB与⊙M相切．
(2) 解法一：可求得过点A、B的一次函数关系式是y＝3/4 x＋3，………………7分
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．……………………8分
设M(a，－a) (－4＜a＜0) ．
把x＝a，y＝－a代入y＝3/4 x＋3，
得－a＝3/4 a＋3，得a＝－12/7 ．……………………9分
所以点M的坐标为(－12/7 ，12/7 )．……………………10分
解法二：连接ME、MF．设ME＝x(x＞0)，则OE＝MF＝x，……………………6分
AE＝43 x，所以AO＝7/3 x．………………8分
因为AO＝4，所以，7/3 x＝4．
解得x＝12/7 ．……………………9分
所以点M的坐标为(－12/7 ，12/7 )．……………………10分