Question

已知函数,若对所有都有,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=xlnx. (1)若对所有x>=1都有f(x)>=ax-1,求实数a的取值范围 我看网上的人都是直接f(x)min大于等于右边。 但右边不是有自变量吗?不是应该先移项再做吗? 过程。谢谢。

Answer 1

解:令g(x)=f(x)-(ax-1)=xlnx-ax+1
，x>=1,则由题意得g(x)恒大于等于0
又g'(x)=lnx+1-a+1=lnx+2-a=0
得x=e^(a-2)
当x>e^(a-2)时，g'(x)>0，
当x<e^(a-2)时
g'(x)<
0,
若e^(a-2)<=1,即a<2时
，g'(x)在x>=1定义域内单调递增，且最小值为g(1)=-a+1
,由题意当x>=1时g(x)>=0,所以g(1)=-a+1=>0，即a<=1
，
整理合并得
a<=1
若e^(a-2)>=1，即a>=2,g(x)在x=e^(a-2)处取得最小值g[e^(a-2)]=[e^(a-2)
]*
(a-2)-ae^(a-2)+1=1-2e^(2-a)>=0，即e^(a-2)<1/2
,a-2<-ln2
,
a<2-2ln2与
a>=2矛盾，舍去
综上，a的取值范围为a<=1