Question

一道不等式恒成立问题

Answer 1

这题麻烦在θ的范围，只能对p,q讨论了，
由于sinθ-pcosθ=√(p^2+1)sin(θ+a) 其中 cosa=1/√(p^2+1),sina=-p/√(p^2+1)
所以 当 p<0 时 才可取 θ+a=pi/2 此时 {-p,1}min《sinθ-pcosθ《√(p^2+1
再讨论图中左式的最大值可得结论（需要分很多情况）
再看p》0 可知 -p《sinθ-pcosθ《1
同上再讨论，综合一下即可
楼主算算吧，算不出的话追问

追问

偶还是不会，请你把详细过程贴上来，或发到我邮箱wemathsshijuan@163.com

追答

嗯，我算了一遍发现答案异常简单 就是 (p,q)=(-1,(√2+1)/2).
首先说明 p>=0 不可能 因为这时 题中绝对值中的式子的最大值减最小值 是1+p>√2-1
这是不行的。 然后在看 p<0 这时题中绝对值中的式子的最大值减最小值 是√(p^2+1- {-p,1}min分p<-1和》-1讨论 可知√(p^2+1- {-p,1}min》√2-1 等号当且仅当 p=-1成立 而题目要求 √(p^2+1- {-p,1}min《(√2-1)/2*2=√2-1 所以只能p=-1 那么q要满足 √2-q《(√2-1)/2 , 1-q》- (√2-1)/2 可得 q=(√2+1)/2