Question

如图,已知:三角形纸片ABC中,∠C=90°,AB=12,BC=6,D为边BC上任意一点。将三角形纸片

接上面：为折痕。求：折叠，使点A与点D重合，EF当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求腰长。

Answer 1

解：折叠，使点A与点D重合，设折痕交AC于F，交AB于E,
因为,∠C=90°,AB=12,BC=6,
所以∠A=30°，AC=6√3
因为折叠使点A与点D重合，
所以DF=FA,DE=AE,
又△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形
所以DE=DF,
所以DF=DE=FA=AE
所以四边形AEDF是菱形，
所以DF∥AB
所以∠CFD=∠A=30°，
设CD=x,则DF=2x,CF=AC-CF=6√3-2x
在直角三角形CDF中，由勾股定理，得，
DF^2=CD^2+CF^2,即
(2x)^2=x^2+(6√3-2x)^2
解得x1=12√3+18(舍去）,x2=12√3-18
所以腰长为2x=24√3-36