如图一，从平行四边形ABCD的顶点A,B,C,D向形外的任意直线MN做垂线AA',BB',CC',DD'。求证，AA'+CC'=BB'+DD'
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从ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA、BB、CC、DD，垂足分别为A、B、C、D。（如图1）
求证：AA+CC=BB+DD
现在把原题做些变化，直线MN是“形外的任意直线”，如果把直线位移将有什么结果。
⑴从图1，将MN向上平移，使A点在MN的一侧，B、C、D在MN的另一侧，（如图2）这时AA、BB、CC、DD之间存在着什么关系？
⑵从图2，将MN继续向上平移（如图3），AA、BB、CC、DD之间存在着什么关系？
根据图2、图3，写出你的猜想，并加以证明。
揭示思路1：通过实际测量，发现垂线段之间关系。
试题中问我们，“垂线段AA、BB、CC、DD之间存在什么关系？”显然告知我们要求它们之长的长度和、差关系。怎样知道几条垂线段的长度呢？实际精确测量是解决线段长度的一种基本方法，（人教版几何第一册，物理第一册都介绍了具体测量方法），在学习几何过程中，为了发现问题，如果图形画的十分准确，也可以采用测量的方法去探求思路，测量后还要加以证明。根据图2，图3分别测量，测量结果如下：
图乙各垂线段长度：
AA=0.6cm，BB=0.4cm，CC=2.2cm，DD=1.2cm。
图丙各垂线段长度：
AA=1.4cm，BB=0.5cm，CC=1.3cm，DD=0.4cm。
根据实际测量数据，发现它们的关系是：
对图乙可有结论：CC－AA=BB+DD=1.6cm。
对图丙可有结论：AA－CC=DD－BB=0.1cm。
通过测量发现了所求线段之间的关系，现在来证明这个结论：
本例由课本上一个熟悉的问题通过运动将定直线MN变为动直线MN，向上进行平移，变成一个新题目，成为陌生问题。
要证明这一结论，我们可这样联想，既然直线MN可向上平移，我们不也可以将直线MN向下平移吗？恢复本来面目，把陌生问题再转化为熟悉问题。
证明新的结论，AA－CC=BB－DD
证明：⑴对于图形乙的结论，CC－AA=BB+DD进行证明，平行移动MN到MN位置，使MN在ABCD的形外，设AA，BB，CC，DD分别交MN于A，B，CC，D。
∵AA，BB，CC，DD分别垂直于MN于A、B、C、D。∴AA，BB，CC，DD分别垂直于MN于A，B，C，D，且AA=BB=CC=DD，由课本证明结论有：AA+CC=BB+DD。
即(AA－AA)+(CC+CC)=(BB+BB)+(DD+DD)
∴CC－AA=DD+BB图形乙的结论得证。
⑵对于图丙的情况的证明，仿照⑴的作法将直线MN平移到ABCD的形外，类似图乙的证法可以得AA－CC=BB－DD。
揭示思路2：构造全等形，研究线段之间的关系。
研究线段之间的关系，通常都是设法构造全等三角形，可找到思路：
⑴如图，作BQCC，Q为垂足，则BBCQ为矩形，∴BB=CQ，CQB=90
作APDD，P为垂足，则AADP为矩形，∴AA=PD，APD=90，∴CQB=APD。
∵ABCD为平行四边形，∴ADBC
∵DDMN，CCMN，∴DD∥CC
∴ADP=BCQ
∴ADP≌BCQ，∴DP=CQ
即DD+DP=CC－QC
∵AA=DP，QC=BB
∴DD+AA=CC－BB
∴CC－AA=BB+DD
⑵如图，同理可证：AA－CC=BB－DD
对本例亦采取如下构造全等三角形的方法进行证明：
如上两图，仿揭示思路1可证得
APB≌CQD，进而可得：
CC－AA=BB+DD，AA－CC=BB－DD
揭示思路3：应用梯形中位线性法打开思路。
观察图形乙可发现梯形CCDD，图形丙有梯形AABD，CCDD，由此可联想梯形中位线的性质，它是打开梯形问题思路的常规方法，进行探索，果然凑效。
⑴连结AC，BD相交于点O，过O点作OOMN，垂足为O
∵DDMN，BBMN，OOMN，O是BD中点，∴DDBB是梯形，且OO是中线，
∴OO=(BB+DD) ①
连结AA，AC，延长OO与AC于点F，延长OO交AC于点E，∵AAMN，CCMN，∴AACC是梯形，又是AC的中点，OOMN
∴EF是梯形AACC的中位线
∴OO+OF=CC，OF=AA
∴OO=(CC－AA) ②
由①、②可知：CC－AA=BB+DD
⑵对于AA，CC这两条垂线段，在直线MN的两侧，由⑴的证明可知：OO=(CC－AA)。
对于BB，DD两条垂线段放在直线MN的两则，同理：OO=(DD－BB)。
∴AA－CC=BB－DD
从本例揭示思路可启示我们，平移法在几何变换中的重要作用，通过平移变换，可化陌生问题为熟悉问题，用已熟悉的方法，解决新问题，对平移法在几何变换中，还可变分散为集中，变隐为明，化难为易，其功效之大，应引起学生重视，尤其研究直线型问题，要经济想到它。
对于研究线段之间的关系，常规思路是构造全等三角形，将四边形问题（如梯形）转化为全等三角形问题。对于遇到的新问题，优先要考虑常规方法，再考虑非常规方法，这符合扩散思维规律。
观察正确图形，准确进行测量，获得第一手材料，使可大胆猜想；一般说是可以成功。如本例，度量后发现垂线段之间关系，使我们证题有了目标。解题的突破口便易找到，进一步观察图形中有梯形模型，自然引起我们联想梯形有关性质、定理，将问题向梯形方面靠拢，转化，沿梯形方面探索，获得了成功，敏锐观察，直觉思维方法也是找到解题思路的好方法。直觉思维是人们最熟悉的一种思维方法，看得见、摸得着，一定要发挥它的长处，不断培养自己的直觉思维能力，强化自己直觉思维能力。
求证：AA+CC=BB+DD
现在把原题做些变化，直线MN是“形外的任意直线”，如果把直线位移将有什么结果。
⑴从图1，将MN向上平移，使A点在MN的一侧，B、C、D在MN的另一侧，（如图2）这时AA、BB、CC、DD之间存在着什么关系？
⑵从图2，将MN继续向上平移（如图3），AA、BB、CC、DD之间存在着什么关系？
根据图2、图3，写出你的猜想，并加以证明。
揭示思路1：通过实际测量，发现垂线段之间关系。
试题中问我们，“垂线段AA、BB、CC、DD之间存在什么关系？”显然告知我们要求它们之长的长度和、差关系。怎样知道几条垂线段的长度呢？实际精确测量是解决线段长度的一种基本方法，（人教版几何第一册，物理第一册都介绍了具体测量方法），在学习几何过程中，为了发现问题，如果图形画的十分准确，也可以采用测量的方法去探求思路，测量后还要加以证明。根据图2，图3分别测量，测量结果如下：
图乙各垂线段长度：
AA=0.6cm，BB=0.4cm，CC=2.2cm，DD=1.2cm。
图丙各垂线段长度：
AA=1.4cm，BB=0.5cm，CC=1.3cm，DD=0.4cm。
根据实际测量数据，发现它们的关系是：
对图乙可有结论：CC－AA=BB+DD=1.6cm。
对图丙可有结论：AA－CC=DD－BB=0.1cm。
通过测量发现了所求线段之间的关系，现在来证明这个结论：
本例由课本上一个熟悉的问题通过运动将定直线MN变为动直线MN，向上进行平移，变成一个新题目，成为陌生问题。
要证明这一结论，我们可这样联想，既然直线MN可向上平移，我们不也可以将直线MN向下平移吗？恢复本来面目，把陌生问题再转化为熟悉问题。
证明新的结论，AA－CC=BB－DD
证明：⑴对于图形乙的结论，CC－AA=BB+DD进行证明，平行移动MN到MN位置，使MN在ABCD的形外，设AA，BB，CC，DD分别交MN于A，B，CC，D。
∵AA，BB，CC，DD分别垂直于MN于A、B、C、D。∴AA，BB，CC，DD分别垂直于MN于A，B，C，D，且AA=BB=CC=DD，由课本证明结论有：AA+CC=BB+DD。
即(AA－AA)+(CC+CC)=(BB+BB)+(DD+DD)
∴CC－AA=DD+BB图形乙的结论得证。
⑵对于图丙的情况的证明，仿照⑴的作法将直线MN平移到ABCD的形外，类似图乙的证法可以得AA－CC=BB－DD。
揭示思路2：构造全等形，研究线段之间的关系。
研究线段之间的关系，通常都是设法构造全等三角形，可找到思路：
⑴如图，作BQCC，Q为垂足，则BBCQ为矩形，∴BB=CQ，CQB=90
作APDD，P为垂足，则AADP为矩形，∴AA=PD，APD=90，∴CQB=APD。
∵ABCD为平行四边形，∴ADBC
∵DDMN，CCMN，∴DD∥CC
∴ADP=BCQ
∴ADP≌BCQ，∴DP=CQ
即DD+DP=CC－QC
∵AA=DP，QC=BB
∴DD+AA=CC－BB
∴CC－AA=BB+DD
⑵如图，同理可证：AA－CC=BB－DD
对本例亦采取如下构造全等三角形的方法进行证明：
如上两图，仿揭示思路1可证得
APB≌CQD，进而可得：
CC－AA=BB+DD，AA－CC=BB－DD
揭示思路3：应用梯形中位线性法打开思路。
观察图形乙可发现梯形CCDD，图形丙有梯形AABD，CCDD，由此可联想梯形中位线的性质，它是打开梯形问题思路的常规方法，进行探索，果然凑效。
⑴连结AC，BD相交于点O，过O点作OOMN，垂足为O
∵DDMN，BBMN，OOMN，O是BD中点，∴DDBB是梯形，且OO是中线，
∴OO=(BB+DD) ①
连结AA，AC，延长OO与AC于点F，延长OO交AC于点E，∵AAMN，CCMN，∴AACC是梯形，又是AC的中点，OOMN
∴EF是梯形AACC的中位线
∴OO+OF=CC，OF=AA
∴OO=(CC－AA) ②
由①、②可知：CC－AA=BB+DD
⑵对于AA，CC这两条垂线段，在直线MN的两侧，由⑴的证明可知：OO=(CC－AA)。
对于BB，DD两条垂线段放在直线MN的两则，同理：OO=(DD－BB)。
∴AA－CC=BB－DD
从本例揭示思路可启示我们，平移法在几何变换中的重要作用，通过平移变换，可化陌生问题为熟悉问题，用已熟悉的方法，解决新问题，对平移法在几何变换中，还可变分散为集中，变隐为明，化难为易，其功效之大，应引起学生重视，尤其研究直线型问题，要经济想到它。
对于研究线段之间的关系，常规思路是构造全等三角形，将四边形问题（如梯形）转化为全等三角形问题。对于遇到的新问题，优先要考虑常规方法，再考虑非常规方法，这符合扩散思维规律。
观察正确图形，准确进行测量，获得第一手材料，使可大胆猜想；一般说是可以成功。如本例，度量后发现垂线段之间关系，使我们证题有了目标。解题的突破口便易找到，进一步观察图形中有梯形模型，自然引起我们联想梯形有关性质、定理，将问题向梯形方面靠拢，转化，沿梯形方面探索，获得了成功，敏锐观察，直觉思维方法也是找到解题思路的好方法。直觉思维是人们最熟悉的一种思维方法，看得见、摸得着，一定要发挥它的长处，不断培养自己的直觉思维能力，强化自己直觉思维能力。
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