Question

已知:在RT△ACB中,两直角边AC=b,BC=a,斜边AB=c,周长l为定值,求c的最小值

Answer 1

因三角形ABC为直角三角形且C=π/2，则a=csinA，b=ccosA，所以csinA＋ccosA＋c=L，即：
c=L/[1＋sinA＋cosA]=L/[1＋√2sin(A＋π/4)]，则当A=π/4时，c取得最小值，最小值是c=L/(1＋√2)=(√2－1)L。

Answer 2

由已知知a+b+c＝l，且√(a^2+b^2)＝c。又因为a+b＝√(a+b)^2＝√(a^2+b^2+2ab)≤√[2(a^2+b^2)]
所以(1+√2)c≥l，c≥l/(1+√2)＝(√2-1)l。即c的最小值为(√2-1)l。