Question

一个数学题，急

如图，直线l1与坐标轴分别交于点A、B，经过原点的直线l2与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，已知点C（3，15/4）。且OA=8，在直线AB上取点P，过点P作y轴的平行线，与CD交于点Q，以PQ为边向右作正方形PQEF。设点P的横坐标为t。（1）求直线l1的解析式；（2）当点P在线段AC上时，试求正方形PQEF与△ACD重叠部分的面积的最大值；（3）设点M坐标为（4，9/2），在点P的运动过程中，点M能否在正方形PQEF的内部，若能，求出t的取值范围；若不能，是说明理由

Answer 1

（1）设直线l1的解析式为：y=ax+b
∵与坐标轴分别交于点A、B，经过原点的直线l2与AB交于点C,且OA=8
∴直线l1过点A(8，0)，C（3,15/4）
﹛a×8+b=0 解得：﹛a=﹣3/4
﹛3a+b=15/4 ﹛b=6
∴直线l1的解析式为：y=(﹣3/4)x+6
（2）由题意得，直线l2的解析式为y2=5/4x，
∵点P在直线AB(l2)上，点Q在直线CD（l2）上，且横坐标为t
∴P(t，﹣3t/4+6)，Q（t，5t/4）
∴正方PQEF的边长PQ=5t/4－(﹣3t/4+6)=2t－6
设PF与直线AD的交点为G，则PG=8-t
∴正方形PQEF与三角形ACD重合的面积为
(2t-6)x(8-t)=﹣2t²+22t－48=﹣2(t²-11t)-48=﹣2(t-11/2)²+121/2－48=﹣2(t-11/2)²＋25/4
∴当t=11/2时，正方形PQEF与三角形ACD重合面积的最大值为25/4。
(3)∵点M（4,9/2）在直线CD外，
∴当3≤t≤8时，点M不会在正方形PQEF内。
在0≤t＜3中，P(t，﹣3t/4+6)，M（4,9/2）
当﹣3t/4+6＞9/2，即t＜2时，点M会在正方形PQEF内。
∴综上，当0≤t＜2时，点M会在正方形PQEF内；
当t=2时，点M会在正方形PQEF一边上；
当2＜t≤8时，点M不会在正方形PQEF内。