Question

已知以p点为圆心的圆经过A(-1,0)和B (3,4),线段AB的垂直平分线交圆p于点C和D，CD绝对值为4根号10.

（1）求圆p的方程
（2）设点Q在圆P上，试问是△Qab的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论。

Answer 1

有条件可知R=CD/2=2√10
可设点p的坐标为（a,b)
则有(a+1)^+(b-0)^2=40 (1)
由已知易得直线AB的方程为y=x+1那么直线CD的斜率就为-1
直线横过线段AB的中点（1,2）
那么直线CD的方程为y=-x+3
点p在直线CD上就有b=-a+3 (2)
联立（1）（2）得a=-3，b=6或a=5,b=-2
即p(-3,6)或p(5,-2)
则圆的方程为(x+3)^2+(y-6)^2=40或（x-5)^2+(y+2)^2=40

这里如果直接去求Q点坐标会很麻烦应另辟他路
先在圆(x+3)^2+(y-6)^2=40内分析
假设CD与AB的垂足为E
易得PE（或DE)=4√2，则DE=2√10-4√2
假设△QAB边AB上的高为h则有1/2(AB*h)=2h√2=8求得h=2√2
比较DE与h会知道h>DE
则Q点只能在直线AB的上方
比较PE与h会发现2h=PE
那么就可在线段PE取其中点F（-1,4)并过这点做一条平行于直线AB的直线
这条直线与圆的交点就是所求的点Q
易知有两点
同理可证圆（x-5)^2+(y+2)^2=40内也有两点

Answer 2

有两个