Question

③④选项怎么判断？如何确定函数f(x)零点的个数？

Answer 1

③作差：f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)=x³ - 2x² - 4x - 7 - (a³ - 2a² - 4a - 7) - (3a² - 4a - 4)(x-a)
=x³ - 2x² - 4x - 7 - a³ + 2a² + 4a + 7 - 3a²x + 3a³ + 4ax - 4a² + 4x - 4a
=x³ - 2x² + 4ax - 3a²x + 2a³ - 2a²
=(x³-a³) - 2(x²-a²) + 4a(x-a) - 3a²(x-a)
=(x-a)(x²+ax+a²) - 2(x-a)(x+a) + (x-a)(4a - 3a²)
=(x-a)(x²+ax+a²-2x-2a+4a-3a²)
=(x-a)(x²+ax-2x-2a²+2a)
=(x-a)[(x²-a²) + (ax-2x-a²+2a)]
=(x-a)[(x-a)(x+a) + (x-a)(a-2)]
=(x-a)²(x - 2 + 2a)
∵a>2，x>2且x≠a
∴(x-a)²>0，x-2>0，2a>4
则(x-a)²(x - 2 + 2a)>0
∴f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)>0
即：③正确
④f(x)的单调递减区间是(-2/3，2)，单调递增区间是(-∞，-2/3)∪(2，+∞)
∴当x=-2/3时，f(x)有极大值-149/27
当x=2时，f(x)有极小值-15
∵极大值f(-2/3)<0
∴f(x)只有一个零点，(函数与x轴只有一个交点)
即：④正确。