Question

高中几何证明

已知平行四边形ABCD，过ABC三点的圆O1，分别交AD.BD于E.F、过CDF三点的圆O2交AD于G 。设圆O1.O2半径分别为R,r。
1.求证AC^2=AG*AD
2.AD:EG=R^2:r^2

Answer 1

连接AC、GC。利用两个圆转化角的关系，
∠AGC = 180 - ∠DGC = 180 - ∠DFC = ∠BFC = ∠BAC = ∠ACD
于是两个三角形ACG和ADC相似。第一问由此立得。

同样利用上述相似，∠GCA = ∠ADC = ∠ABC。于是由“弦切角等于圆周角”，说明GC与圆O1相切。于是GC^2 = GE*GA。

在两个圆中利用正弦定理，不难发现R/r = BC/CD = AD/CD。此时
AD/EG = AG*AD/AG*EG = AC^2/GC^2 = (AC/GC)^2 = (AD/CD)^2
最后一个等式仍然源于前述相似