Question

高一复数解答题，望大神指点 已知z∈C，且｜z＋1/z｜＝1，求｜z｜取值范围。

Answer 1

设z=a(cosθ+isinθ)，其中a=|z|，θ为复向量与实轴的夹角
则1/z=(1/a)(cosθ-isinθ)
|z+1/z|=|(a+1/a)cosθ+i(a-1/a)sinθ|=根号[((a+1/a)cosθ)^2+((a-1/a)sinθ)^2]
=根号(a^2+1/a^2+2cos2θ)=1
所以，a^2+1/a^2+2cos2θ=1，a^2+1/a^2=1-2cos2θ<=3
设t=a^2，t+1/t-3<=0，[(根号5-1)/2]^2=(3-根号5)/2<=t<=(3+根号5)/2=[(根号5+1)/2]^2，因此(3-根号5)/2<=a<=(根号5+1)/2
又：a^2+1/a^2>=2，仅当a=1时等号成立，此时θ有解。
综上，(3-根号5)/2<=|z|<=(根号5+1)/2

Answer 2

解1 设|z|=r,则|z^2|=|z|^2=r^2,
所以|z+1/z|=|(z^2+1)/z|=|z^2+1|/r=1,|
所以r>0,r=|z^2+1|,
|z^2+1|≤|z^2|+1=r^2+1≥2r>r,
|z^2+1|≥||z^2|-1|=|r^2-1|,
所以r≥|r^2-1|,
化为两个不等式组：
1）r≥1,r≥r^2-1;
2)0<r<1时r≥1-r^2.
由1),r^2-r-1≤0,解得1≤r≤(1+√5)/2;
由2)r^2+r-1≥0,解得(√5-1）/2≤r<1.
求两者的并集得(√5-1）/2≤r≤(√5+1）/2，为所求。
解2 设z=r(cosa+isina),则
z^2=r^2(cos2a+isin2a),
|z+1/z|=|(z^2+1)/z|=|z^2+1|/r=1,
所以r=|z^2+1|=|r^2cos2a+1+ir^2sin2a|,
平方得r^2=(r^2cos2a+1)^2+(r^2sin2a)^2,
整理得r^4+1=r^2(1-2cos2a)≤3r^2,
所以r^4-3r^2+1≤0,
解得(3-√5)/2≤r^2≤(3+√5)/2,r>0,
开平方得(√5-1）/2≤r≤(√5+1）/2，为所求。