Question

x →0，证明 lim(1+x)^(1/x)=e

因无详细过程，特别是关键的地方。没有关键的地方，只停留在一些中学生都会的初等变换上。所以等于没有提供答案。

Answer 1

正：因为（1－ cosx）＜x^2/2! （ 用太勒公式展开）
所以只要x^2/2＜E 即 X＜（2E）＾（1/2）
就恒有1－cosx＜E
故对任意E 取X＜（2E）＾（1/2） 满足要求 故
lim1－cosx=0 即lim cosx=1
既然大家都懂行 建议大家看一下哈工大的＜工科数学分析＞
里面极限一章 有1道例题用的就是太勒展开
好象是正N的N次方（N趋于正无穷）的极限是1
该例题好象是例3 同学门看看吧！

Answer 2

证明：

lim (1+x)^(1/x)
= lim e^[ln(1+x)^(1/x)]
= lim e^[ln(1+x)/x]
= e^{lim[ln(1+x)/x]}
＝〉洛必塔法则
= e^{lim[1/(x+1)]}
= e^1
= 1