Question

∫x/2ln(1+x^2)dx?

如何去解

Answer 1

本题不定积分计算如下:

∫x/2ln(1+x^2)dx

=∫ln(1+x^2)dx^2

=∫ln(1+x^2)d(1+x^2)

=(1+x^2)ln(1+x^2)-∫(1+x^2)*2xdx/(1+x^2)

=(1+x^2)ln(1+x^2)-∫2xdx

=(1+x^2)ln(1+x^2)-x^2+C

本题主要用到凑分和分部积分法。

Answer 2

分享解法如下。设x²+1=t。∴xdx=(1/2)dt。∴原式=(1/4)∫lntdt。
应用分部积分法，∫lntdt=tlnt-∫dt=tlnt-t+c。∴原式=(1/4)[(x²+1)ln(x²+1)-x²]+C。

Answer 3

题目表达式有歧义：
若是 ∫(x/2)ln(1+x^2)dx = (1/4)∫ln(1+x^2)d(1+x^2) = (1/4)∫lnudu
= (1/4)[ulnu - ∫du] = (1/4)u(lnu-1) + C = (1/4)(1+x^2)[ln(1+x^2)-1] + C
若是 ∫(x/[2ln(1+x^2)]dx = (1/4)∫d(1+x^2)/ln(1+x^2) = (1/4)dv/lnv,
原函数不是初等函数。