Question

一道高中的排序不等式的数学题,求解!

已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(aˇ3+bˇ3+cˇ3)≥aˇ2(b+c)+bˇ2(a+c)+cˇ2(a+b)
不会做啊,求高手解,谢谢啦,要详细过程!!!(注:aˇ2(b+c)表示a的平方乘以b+c,后面一样)

Answer 1

排序不等式:设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n−1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
2*（a^3+b^3+c^3）- (a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b))
=2*a^3+2b^3+2c^3 - b*a^2-c*a^2 - a*b^2-c*b^2
- a*c^2-b*c^2
=(a^3-a*b^2)＋（a^3-a*c^2）＋(b^3-b*a^2)+(b^3-b*c^2)
+(c^3-c*a^2)+ (c^3-c*b^2)
=a(a^2-b^2)+a(a^2-c^2)+b(b^2-a^2)+b(b^2-c^2)
+c(c^2-a^2)+c(c^2-b^2)
=(a-b)(a^2-b^2)+(a-c)(a^2-c^2)+(b-c)(b^2-c^2)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
>＝0 (因为a,b,c都是正数，而x^2>=0)
当且即当 a=b=c时取等号。
得证。

Answer 2

解，(a^2+b^2)≥2ab,方程两边乘以a,得a^3≥2a^2-ac^2,方程两边乘以b,得b^3≥2ab^2-a^2b,同理能得出(a^2+c^2)≥2ac;(b^2+c^2)≥2bc,得到关于a,b,c三次方的六个式子，方程左右各自相加，就得到你要的结果了
记得加分哦，我要分下载资料，谢啦！
有什么不会就发我知道里面，最近我会天天看的，因为我要分，呵呵！

Answer 3

证明：不妨设：a≥b≥c＞0.
则a²≥b²≥c²＞0.
按“排序原理：同序≥乱序≥反序”可得：
a²×a+b²×b+c²×c≥a²×b+b²×c+c²×a.
a²×a+b²×b+c²×c≥a²×c+b²×a+c²×b
两式整理相加，可得：
2（a³+b³+c³）≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).

Answer 4

排序不等式证法：
上式为轮换对称式，所以不妨设a≤b≤c
因为a,b,c为正数，所以a^2≤b^2≤c^2
根据排序不等式有：（反序和≤乱序和≤同序和）
a^2*b+b^2*c+c^2*a≤a^2*a+b^2*b+c^2*c
a^2*c+b^2*a+c^2*b≤a^2*a+b^2*b+c^2*c
上两式相加得
a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)≤2(a^3+b^3+c^3)
即2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
同理可证a≤c≤b,b≤a≤c,b≤c≤a,c≤b≤a,c≤a≤b

一般证法：
2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
<=a^2(2a-b-c)+b^2(2b-a-c)+c^2(2c-a-b)≥0
<=a^2(a-b)+b^2(b-a)+a^2(a-c)+c^2(c-a)+b^2(b-c)+c^2(c-b)≥0
<=(a^2-b^2)(a-b)+(a^2-c^2)(a-c)+(b^2-c^2)(b-c)≥0
<=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2≥0
<=a+b>0,a+c>0,b+c>0,(a-b)^2≥0,(a-c)^2≥0,(b-c)^2≥0
<=a,b,c为正数
其上可逆即得证