Question

初三数学几何证明的两道题。

1.在正三角形ABC中，P是边CB上任意一点，联接AP，过点P做∠APQ=60°，点E是CB延长线上一点，PQ与∠ABE的平分线交于点Q，求证AP=PQ

2.在正方形ABCD中，P是对角线BD上任意一点，联接AP，过点P，做PQ⊥AP，与直线DC相交于点Q，求证AP=PQ

Answer 1

1、过点P作PD∥AC，交AB于点D
∴△PBD是等边三角形
∴∠PDB＝∠DPB＝60°，PD＝PB
∴∠ADP＝120°
∵BQ平分∠ABE
∴∠PBQ＝120°＝∠ADP
∵∠BPD＝∠APQ＝60°
∴∠APD＝∠QPB
∴△APD≌△QPB
∴PA＝PQ
∵∠APQ＝60°
∴△PAQ是等边三角形
∴AP＝PQ

2、过点P作PE⊥AD于E，作PF⊥CD于F
∴四边形PEDF是正方形
∴PE＝PF，∠EPF＝90°
∴∠APQ＝90°
∴∠APE＝∠QPF
∴△PAE≌△PQF
∴AP＝PQ

追问

第二个为什么是正方形。。

追答

首先可得到三个角是直角，即得矩形
而P是∠ADC角平分线上一点，得PE＝PF
从而是正方形

Answer 2

题呢？

Answer 3

第一题三角形全等，第二题旋转三角形之后证全等