Question

任意5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，为什么?

Answer 1

一个数被4除，余数只能是0，1，2，3四种情况，取5个数说明至少有2个数除以4余数相同，而这两个数的差就是4的倍数。

Answer 2

5个不同的自然数中，假设最小的数用X表示，那么其他四个数必定可以用X+n和X+2m两种形式表示，（其中n和m是分别比1和2大的奇数和偶数）（因为自然数中的数不是奇数就是偶数）。所以这五个数中至少可以找到两个数的差（X+2m）-X=2m.。而2m总是4的倍数。

Answer 3

任一自然数除以4的余数只能是0、1、
2、
3，所以所有自然数可以表示为4n，4n+1，4n+2，4n+3共4类，当有5个不同的自然数时，一定有二个数除以4的余数相同，那么这两个数的差一定是4的倍数。

Answer 4

两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这5个自然数中有2个自然数，它们除以4的余数相同.我们可以把所有自然数按被4除所得的4种不同的余数0、1、2、3分成4类.也就是4个抽屉.任取5个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以4的余数相同，因此这两个数的差一定是5的倍数。