Question

怎么证明a^a*b^b*c^c>=(abc)^((a+b+c)/3)

Answer 1

条件不足，应限制为：a、b、c都是正数。
证明如下：
1、如果a＞b，那么：a－b＞0，且（a/b）＞1，
　　∴此时（a/b）^（a－b）＞1。
2、如果a＝b，那么：a－b＝0，且（a/b）＝1，
　　∴此时（a/b）^（a－b）＝1。
3、如果a＜b，那么：b－a＞0，且（b/a）＞1，
　　∴此时（a/b）^（a－b）＝［（b/a）^（－1）］^［－（b－a）］＝（b/a）^（b－a）＞1。
∴无论a、b的大小如何，都有：（a/b）^（a－b）≥1，∴［（a/b）^a］/［（a/b）^b］≥1，
∴（a/b）^a≥（a/b）^b，∴a^a/b^a≥a^b/b^b，∴a^a×b^b≥a^b×b^a。
同理，有：a^a×c^c≥a^c×c^a，　　c^c×b^b≥c^b×b^c。
∴（a^a×b^b）（a^a×c^c）（c^c×b^b）≥（a^b×b^a）（a^c×c^a）（c^b×b^c），
∴（a^a×b^b×c^c）^2≥a^（b＋c）×b^（a＋c）×c^（a＋b），
∴（a^a×b^b×c^c）^3≥a^（a＋b＋c）×b^（a＋b＋c）×c^（a＋b＋c）＝（abc）^（a＋b＋c）
∴a^a×b^b×c^c≥√［（abc）^（a＋b＋c）］＝（abc）^［（a＋b＋c）/3］。
即：a^a×b^b×c^c≥（abc）^［（a＋b＋c）/3］。

Answer 2

作商：假设a≥b≥c>0则
a^a*b^b*c^c/(abc)^((a+b+c)/3)
=a^[(a-b)/3][(a-c)/3]b^[(b-c)/3][(b-a)/3]c^[(c-a)/3][(c-b)/3]
=(a/b)^[(a-b)/3](b/c)^[(b-c)/3](a/c)^[(a-c)/3]≥1.