Question

证明a^a*b^b*c^c>=(abc)^((a+b+c)/3)

Answer 1

设f(x)=xlnx
f'(x)=lnx+1
f''(x)=1/x
因为a,b,c>0
所以当x>0时f''(x)>0
则f(x)为凹函数
则有[f(a)+f(b)+f(c)]/3 > f[(a+b+c)/3]
f(a)+f(b)+f(c)=alna+blnb+clnc
=ln(a^a)+ln(b^b)+ln(c^c)
=ln[(a^a)(b^b)(c^c)]
=左式
f[(a+b+c)/3]=[(a+b+c)/3]ln[(a+b+c)/3]
所以f(a)+f(b)+f(c)>(a+b+c)ln[(a+b+c)/3]
根据(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
有(a+b+c)ln[(a+b+c)/3]≥(a+b+c) ln[³√(abc)]
=[(a+b+c)/3] ln(abc)
=右式
则可证