Question

证明函数沿每个方向的方向导数均存在，但不可微 应该从何下手？

Answer 1

任何方向均存在请用定义证明。然后就是2个偏导数。 然后取不同的值会得到不同的数值，说明虽然有偏导数但是不可微因为诶他一个点上的只能是一个方向。具体可查 pathological function。 有经典例题。我觉得必须是分段函数上的一点才会有这个特点。

Answer 2

存在2个方向的方向导数不相等。那么就不可微

追问

你理解错了，原题
设f(x,y)={(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^(3/2), (x^2+y^2不等于0，)
当x^2+y^2=0时。证明f(x,y)在点（0.0）处沿任何方向的方向导数均存在。

Answer 3

两个偏导数连续，才可微。
证明的方法：总的说来只有一种：那就是df(x,y)-(αf/αx)dx- (αf/αy)dy=关于x,y的式，用这个式子与根号下（x^2+y^2）比较，如果它是根号下（x^2+y^2）的高阶无穷小，那么就可微；如若不是，就不可微。

这个问题在考研辅导书，李永乐和李正元那本种有着详细的解释。
类似题目在《660题》有3-4道，可供练习。