Question

高三几何题

已知四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形ABCD对角线的交点
（1）求证：平面EAC⊥平面PBD
（2）试确定点E的位置，使三棱锥E-ABC的体积是四棱锥P-ABCD的体积的1/4
~

Answer 1

1、∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面PCD=PD，

∴PD⊥平面ABCD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BO⊥AC，

根据三垂线定理，

AC⊥PB，

PD∩PB=P，

AC⊥平面PBD，

AC∈平面AEC，

∴平面EAC⊥平面PBD。

2、满足条件的点E在PB的中点，

EO是三角形PBD中位线，

EO//PD，

PD⊥平面ABCD，

则EO⊥平面ABCD，

VP-ABCD=S正方形ABCD*PD/3，

VE-ABC=S△ABC*EO/3，

S△ABC=S正方形ABCD/2，

EO=PD/2，

∴VE-ABC=VP-ABCD/4。

Answer 2

(1)证明：
因平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，所以PD垂直于平面ABCD
又因ABCD为菱形，所以AC⊥BD,AB=AD=DC=CB
直角三角形PAD和直角三角形PDC中，AD是公共边，AD=CD，所以三角形PAD全等于三角形PDC
所以，PA=PC
所以三角形PBC全等于三角形PAB，则角PBC=角PBA
易证三角形BCE全等于三角形ABE，所以AE=EC
O是AC中点，所以，EO⊥AC,又PD⊥AC，且EO为平面ACE与平面PBD的交线，所以平面EAC⊥平面PBD
(2)做EG⊥BD，根据（1）结论，知，EG⊥底面ABCD，即EG垂直于三角形ABC
则EG即为三棱锥E-ABC的高
那么三棱锥E-ABC的体积为：1/3*1/2*AC*OB*EG
四棱锥P-ABCD中，显然，PD是高，所以四棱锥P-ABCD体积为：
1/3*1/2*AC*BD*PD
欲使三棱锥E-ABC的体积是四棱锥P-ABCD的体积的1/4，则有：
1/3*1/2*AC*BD*PD=1/3*1/2*AC*OB*EG*4
化简得：1/2BD*PD=2*OB*EG
OB=1/2BD
所以：PD=2EG
因EG、PD都垂直于BD,所以,EG//PD
三角形PBD中，可见EG为中位线，则E点在PB中点位置。

Answer 3

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD
平面PAD与平面PCD的交线为PD
所以PD⊥平面ABCD
所以PD⊥AC
因为ABCD为菱形
所以BD⊥AC
所以AC⊥平面PBD
所以平面EAC⊥平面PBD
（2）
E是PB的中点时，三棱锥E-ABC的体积是四棱锥P-ABCD的体积的1/4
因为这时三棱锥E-ABC的高是四棱锥P-ABCD的高的一半
V三棱锥= 1/3 ABC面积 *EO
V四棱锥= 1/3 ABCD面积*PD
恰好能满足要求
希望能解决你的疑问！

Answer 4

(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD
那么PD⊥平面ABCD PD⊥AC
菱形ABCD对角线垂直 AC⊥BD
PD交BD于D AC⊥平面EAC
平面EAC过AC
所以平面EAC⊥平面PBD
(2)S三角形ABC=1/2S菱形ABCD
根据棱锥求体积公式 只要三角形ABC的高=1/2菱形ABCD的高
由（1）得 PD就是菱形ABCD的高
过E做EH⊥BD交于H
AC⊥平面EAC AC⊥EH
EH⊥BD 那么EH⊥平面ABCD 即EH是三角形ABC的高
EH=1/2PD
EH为中位线
E、H为中点 （其实H就是O）

Answer 5

1，过P点作AD，CD的垂线交于D1,D2点，则有PD1⊥面ABCD,PD2⊥面ABCD,则D1点即为D2点，又D1点在AD上，D2点在CD上，所以D1,D2应为AD,CD的交点，即D点，所以，PD⊥面ABCD，所以PD⊥AC，有AC⊥BD，所以AC⊥面PDB，所以面ACE⊥面PBD
2，即要求E-ABC体积是P-ABC体积的1/2，所以E是PB的中点