Question

三角形ABC内有一点P,且a*向量PA+b*向量PB+c*向量PC=0,且三角形ABC的面积等于s，求三角形PAB面积

Answer 1

点P是三角形的内心的充要条件是a*向量PA+b*向量PB+c*向量PC=0。
【证明】：
设BP与AC相交于E，CP与AB相交于F，
∵P是内心
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
过A作CP的平行线，与BP的延长线相交于N，过A作BP的平行线，与CP的延长线相交于M，
所以四边形PMAN是平行四边形
根据平行四边形法则，得
向量PA
=向量PM+向量PN
=(PM/CP)*向量CP+(PN/BP)*向量BP
=(AE/CE)*向量CP+(AF/BF)*向量BP
=(c/a)*向量CP+(b/a)*向量BP∴a*向量PA=b*向量BP+c*向量CP
∴a*向量PA+b*向量PB+c*向量PC=向量0

内心到三条边的距离相等。
所以△PAB、△PBC、△PCA的面积比=c:a:b,
△PAB的面积/△ABC面积=c/(a+b+c),
△ABC的面积等于s，
所以△PAB的面积= cs/(a+b+c).

追问

∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
怎么得到的？

追答

这是角平分线的性质，角平分线分对边成比例，
比如BE是角平分线，则AE/CE=AB/BC,即AE/CE=c/a

追问

额 我知道了 不过这里a b c和边没关系 ，就是系数而已，不好意思啊 谢谢你

追答

请看一下这个链接，也是我做的，这个问题我研究过：
http://zhidao.baidu.com/question/250660820.html

Answer 2

以下是平面向量中熟知的结果：
引理：A、B是平面上不同两点，PX=u*PA+v*PB，则点X在直线AB上当且仅当u+v=1。
解：延长CP交AB于D，由已知a*向量PA+b*向量PB= -c*向量PC，记向量p=(a*向量PA+b*向量PB)/(a+b)，则向量p=[-c/(a+b)]*向量PC，所以 向量p与向量PC共线，从而也与向量PD共线，
又因为由引理知向量p是始点为P终点在直线AB上的向量，这只能是向量PD，即向量p=向量PD，
所以向量PD=[-c/(a+b)]*向量PC，所以c与a+b同号且PD：PC=c/(a+b)，所以PD：CD=c/(a+b+c)所以同底的三角形S△PAB：S△ABC=c/(a+b+c)，所以S△PAB=sc/(a+b+c)，