Question

用一张边长12cm的正方形硬纸板，裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒，容积大于100立方厘米，长宽高各是几厘米

不考虑损耗及接缝，长宽高必须为整厘米数，还要求容积
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Answer 1

画一下图，可知用一张边长12cm的正方形硬纸板，裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒，是在四个角剪去四个完全一样的正方形，剪去正方形的边长就是长方体纸盒的高，它的长和宽是相等的都是12剪去两个剪去正方形的边长，长宽高必须为整厘米数，容积大于100立方厘米，如果高是1厘米那长方体纸盒的容积就是（12-1*2）*（12-1*2）*1=100立方厘米，也就是说高得大于1 ，高是2厘米，长和宽为12-2*2=8厘米，长方体纸盒的容积=8*8*2=128立方厘米，就满足要求，也可以是其他

Answer 2

设长宽高分别为x,y,z
则2(xy+xz+yz)=12^2=144
xy+xz+yz=72
xyz>100
利用均值不等式xy+xz+yz>=3*(x^2y^2z^2)^(1/3)=3*(xyz)^(2/3)
当且仅当x=y=z等号成立
xyz取得最大值
3x^2=72
x^2=24
x=(24)^(1/2)=y=z
这样xyz=117>100满足

Answer 3

如图，设剪掉小正方形长X（0<2x<12），即长方体高X，所以体积（12-2x）*(12-2x)*x>100,得 4x^3-48x^2+144x>100;
求导y=4x^3-48x^2+144x ；y'=12x^2-96x+144,令12x^2-96x+144=0。则x=2或6，即y=4x^3-48x^2+144x在2或6处有极值。因为0<2x<12。所以x=2，带入验证y=4x^3-48x^2+144x=128>100符合要求，所以长方体长宽8CM,高2CM