Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为c（1，1）且过原点O，过抛物线上一点P（x，y）向直线 作垂线

Answer 1

1、过原点，
则c=0(1,1)为顶点，
则有-b/(2a)=1,
将（1,1）代入y=ax^2+bx得a+b=1联立求解，a=-1，b=2y=-x^2+2x2、
P（x,y），由于PM垂直于y=5/4，
所以M坐标为（x,5/4），
又F（1,3/4）根据两点距离公式，MF^2=(x-1)^2+(5/4-3/4)^2=(x-1)^2+1/4PF^2=(x-1)^2+(y-3/4)^2又y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1,
故 (x-1)^2=1-y所以MF^2=5/4-y, PF^2=(y-3/4)^2+1-y
根据题意有MF=PF，
则5/4-y=(y-3/4)^2+1-y，
得y1=5/4,y2=1/4 (由于顶点（1,1），
故y=5/4不可能在抛物线上，舍弃)
分别将y=1/4代入抛物线方程，
得P点坐标为（(根号3)/2, 1/4）（-(根号3)/2, 1/4）证明：将y代入MF^2=5/4-1得MF=1，故PF=1又PM=|y-5/4|=1, 所以PM=MF=PF,即等边三角形
3、由题意，PM^2=(y-5/4)^2,
PN^2=(x-1)^2+(y-t)^2=1-y+(y-t)^2 【注，y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1】由PM=PN，
得(y-5/4)^2=1-y+(y-t)^2 即y^2-5/2*y+25/16=y^2-(2t+1)y+t^2+1化简得2（t-3/4）y=t^2-9/16=(t+3/4)(t-3/4)2（t-3/4）y=(t+3/4)(t-3/4)恒等的条件是t-3/4=0,即t=3/4

任意直线与抛物线y=-x^2+2x的交点仅有三种情况：
1、没有交点；
2、有且只有一个交点；
3、有两个交点；
所以不可能使抛物线y=-x^2+2x上所有的点与MN的垂直平分线重合，与假设矛盾，即不存在点N（1，t），使PM=PN恒成立

所以不存在，因为当t＜5/4 ，x＜1时，PM与PN不可能相等，
同理，当t＞5/4 ，x＞1时，PM与PN不可能相等．
t=5/4，x=1时，pm=pn

Answer 2

抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，1）,
所以y=a(x-1)^2+1,
又它过原点，
所以0=a+1,a=-1.
所以y=-(x-1)^2+1=-x^2+2x.