Question

已知：如图一次函数y=1/2x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B

已知：一次函数y=1/2x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=1/2x2+bx+c的图象与一次函数y=1/2x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由一次函数y=1/2x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，可知，B为（0，1）点，B又在二次函数上，所以把（0，1）代人函数得到c=1，又D（1，0）在二次函数上，代人，得到b=-3/2,所以二次函数解析式为y=1/2x^2-3/2x+1
（2）将一次函数y代人二次函数，求方程的解，得到x=0或4，即C点为（4，3），再另二次函数的y=0，得到其与x轴的交点D（1，0），E(2,0),则四边形的面积可以划分为两个三角形和一个梯形的面积和，过D、 E点做X轴的垂线得到与一次函数的交点F（1，3/2）,G(2,2),因此三角形BDF,EGC和梯形DEGF的面积和为9/2
(3)存在点P，因为使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，即以BC为直径画圆，如果圆和x轴有交点则存在点P，计算BC的长度=4^2+2^2=根号20，即半径为根号5，则BC的中点，即圆心G（2，2）到x轴的距离为2，小于半径，所以必定存在两个P点，根据勾股定理可以得到两点分别为（1，0）和（3，0）

Answer 2

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