设a,b,c为三个向量，证明a,b,c共面的充要条件是a+b,b+c,c+a共面
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令K1(a+b)+K2(b+c)+K3(c+a)=0，整理得(K1+K3)a+(K1+K2)b+(K2+K3)c=0
若a+b,b+c,c+a共面，则(K1+K3)、(K1+K2)、(K2+K3)不同时为0，则K1、K2、K3也不同时为0（解方程组易知）所以a,b,c共面。以上各部均可逆，所以a,b,c共面的充要条件是a+b,b+c,c+a共面
若a+b,b+c,c+a共面，则(K1+K3)、(K1+K2)、(K2+K3)不同时为0，则K1、K2、K3也不同时为0（解方程组易知）所以a,b,c共面。以上各部均可逆，所以a,b,c共面的充要条件是a+b,b+c,c+a共面
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