求微分方程Y'=Y/(Y-X)的通解 要详解
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求微分方程Y'=Y/(Y-X)的通解
解:dy/dx=(y/x)/[(y/x)-1]...............(1)
令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入(1)式得:
u+x(du/dx)=u/(u-1),x(du/dx)=[u/(u-1)]-u=(2u-u²)/(u-1),分离变量得:
[(u-1)/(2u-u²)]du=dx/x,积分之:
∫[(u-1)/(2u-u²)]du=lnx
左边=∫[(u-1)/u(2-u)]du=∫[1/(2-u)-1/u(2-u)]du=∫{1/(2-u)-(1/2)[(1/u)+1/(2-u)]}du
=(1/2)∫[1/(2-u)-(1/u)]du=(1/2)[-ln(u-2)-lnu]-lnC₁
故有(1/2)[-ln(u-2)-lnu]=lnC₁+lnx=ln(C₁X)
ln[(u-2)u]=-2ln(C₁X),(u-2)u=1/(C₁X)²
将u=y/x代入即得通解为:[(y/x)-2](y/x)=1/(C₁X)²,即y(y-2x)=C为所求。
解:dy/dx=(y/x)/[(y/x)-1]...............(1)
令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入(1)式得:
u+x(du/dx)=u/(u-1),x(du/dx)=[u/(u-1)]-u=(2u-u²)/(u-1),分离变量得:
[(u-1)/(2u-u²)]du=dx/x,积分之:
∫[(u-1)/(2u-u²)]du=lnx
左边=∫[(u-1)/u(2-u)]du=∫[1/(2-u)-1/u(2-u)]du=∫{1/(2-u)-(1/2)[(1/u)+1/(2-u)]}du
=(1/2)∫[1/(2-u)-(1/u)]du=(1/2)[-ln(u-2)-lnu]-lnC₁
故有(1/2)[-ln(u-2)-lnu]=lnC₁+lnx=ln(C₁X)
ln[(u-2)u]=-2ln(C₁X),(u-2)u=1/(C₁X)²
将u=y/x代入即得通解为:[(y/x)-2](y/x)=1/(C₁X)²,即y(y-2x)=C为所求。
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