求微分方程Y'=Y/(Y-X)的通解 要详解
2个回答
展开全部
求微分方程Y'=Y/(Y-X)的通解
解：dy/dx=(y/x)/[(y/x)-1]...............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得：
u+x(du/dx)=u/(u-1)，x(du/dx)=[u/(u-1)]-u=(2u-u²)/(u-1)，分离变量得：
[(u-1)/(2u-u²)]du=dx/x，积分之：
∫[(u-1)/(2u-u²)]du=lnx
左边=∫[(u-1)/u(2-u)]du=∫[1/(2-u)-1/u(2-u)]du=∫{1/(2-u)-(1/2)[(1/u)+1/(2-u)]}du
=(1/2)∫[1/(2-u)-(1/u)]du=(1/2)[-ln(u-2)-lnu]-lnC₁
故有(1/2)[-ln(u-2)-lnu]=lnC₁+lnx=ln(C₁X)
ln[(u-2)u]=-2ln(C₁X)，(u-2)u=1/(C₁X)²
将u=y/x代入即得通解为：[(y/x)-2](y/x)=1/(C₁X)²，即y(y-2x)=C为所求。
解：dy/dx=(y/x)/[(y/x)-1]...............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得：
u+x(du/dx)=u/(u-1)，x(du/dx)=[u/(u-1)]-u=(2u-u²)/(u-1)，分离变量得：
[(u-1)/(2u-u²)]du=dx/x，积分之：
∫[(u-1)/(2u-u²)]du=lnx
左边=∫[(u-1)/u(2-u)]du=∫[1/(2-u)-1/u(2-u)]du=∫{1/(2-u)-(1/2)[(1/u)+1/(2-u)]}du
=(1/2)∫[1/(2-u)-(1/u)]du=(1/2)[-ln(u-2)-lnu]-lnC₁
故有(1/2)[-ln(u-2)-lnu]=lnC₁+lnx=ln(C₁X)
ln[(u-2)u]=-2ln(C₁X)，(u-2)u=1/(C₁X)²
将u=y/x代入即得通解为：[(y/x)-2](y/x)=1/(C₁X)²，即y(y-2x)=C为所求。
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
系科仪器
2024-08-02 广告
科仪器致力于为微纳薄膜领域提供精益级测量及控制仪器，包括各种光谱椭偏、激光椭偏、反射式光谱等，从性能参数、使用体验、价格、产品可靠性及工艺拓展性等多个维度综合考量，助客户提高研发和生产效率，以及带给客户更好的使用体验。...
点击进入详情页
本回答由系科仪器提供
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
