Question

已知函数f（x）＝ax三次方-3/2（a+2）x方+6x-3

（1）求a＞2时，求函数的极小值
（2）当a＞0时，讨论曲线y＝f（x）与x轴的公共的的个数

Answer 1

f（x）＝ax^3-3/2（a+2）x^2+6x-3
f'（x）＝3ax^2-3（a+2）x+6=3[(x-1)(ax-2)]=0的两个根为x1=1,x2=2/a
（1）a＞2时，f'（x）＝0的两个根为x1=2/a<1,x2=1
当x＜2/a或x＞1时，f'(x)＞0,f（x）在﹙﹣∞，2/a﹚和﹙1，﹢∞﹚上单调增
当2/a＜x＜1时，f'(x)＜0,f（x）在﹙2/a,1﹚上单调减
当x=2/a和x=1时,f'(x)=0,即为极值点，
由导函数在极值点附近的符号得到：x=1是f(x)的极小值点，所以极小值是f(1)=-a/2
（2）当a＞0时，f'（x）＝0的两个根为x1=2/a＞0,x2=1
①当a＞2时,由﹙1﹚可知，
f（x）在﹙﹣∞，2/a﹚和﹙1，﹢∞﹚上单调增,f(x)在﹙2/a,1﹚上单调减,
且极大值f(2/a)=﹙-3a^2+6a-4﹚/a^2＜0,极小值f(1)=-a/2＜0，f﹙2﹚=2a-3＞0
画出函数的单调性图像，可以看出，此时f﹙x﹚与X轴只有一个交点在﹙1,2﹚之间。
② 当a=2时,f'(x)≥0恒成立，f（x）在R上单调增,且当x＜0时，f（x）＜0,；f﹙2﹚=2a-3＞0；
所以此时f﹙x﹚与X轴只有一个交点在﹙1,2﹚之间。
③当0＜a＜2时,单调性和单调区间讨论与①类似，
极小值f(2/a)=﹙-3a^2+6a-4﹚/a^2＜0,极大值f(1)=-a/2＜0，
也就是说当x≤2/a时,f﹙x﹚＜0恒成立，
关键在于x＞2/a时，是否存在x0使f﹙x0﹚≥0成立；
f﹙x﹚=ax^2﹙x-3/2﹚-3﹙x-1﹚^2
当 x趋于无穷大时，上式中x^2＞﹙x-1﹚^2
则只要a﹙x-3/2﹚＞3即可；解得x＞3/a﹢3/2
即无论a是多么小的正数，只要x取大于﹙3/a﹢3/2﹚的值，f﹙x﹚＞0成立。
所以此时f﹙x﹚与X轴只有一个交点。

综上，当a＞0时，曲线y＝f（x）与x轴只有一个公共点。