Question

函数f(x)=ax^3-3/2(a+2)x^2+6x-3

a>2,求f(x)的极小值

Answer 1

因为函数f(x)=ax^3-3/2(a+2)x^2+6x-3，所以f‘(x)=3ax�0�5-3(a+2)x+6=3（ax�0�5-（a+2)x+2)=3（ax-2)(x-1)，因为a＞2，所以2/a＜1，当x＜2/a时，f‘(x)＞0，所以函数f(x)=ax^3-3/2(a+2)x^2+6x-3为增函数，当2/a＜x＜1时，f‘(x)＜0，所以函数f(x)=ax^3-3/2(a+2)x^2+6x-3为减函数，当x＜1时，f‘(x)＞0，所以函数f(x)=ax^3-3/2(a+2)x^2+6x-3为增函数，所以函数f(x)=ax^3-3/2(a+2)x^2+6x-3在x=2/a时，取得极大值，x=1时，取得极小值，为a-3(a+2)/2+6-3=-a/2

Answer 2

1.
f'(x)=3[ax^2-(a+2)x+2]=3(ax-2)(x-1)=0,
x=1,
2/a
因a>2,
2/a<1,
极小值为f(1)=a-3/2(a+2)+6-3=-a/2
2.
由上，极值点为f(1)=-a/2,
f(2/a)=8/a^2-6(a+2)/a^2+12/a-3=2/a^2+6/a-3
若a>2,则极小值为f(1)<0,
极大值为f(2/a)=2/a^2+6/a-3
解f(2/a)>0,得
2<a<2/(
-3+√15)
,此时有三个不等根
若f(2/a)=0,
即a=2/(-3+√15),
此时有两个不等根
若f(2/a)<0,
即
a>2/(-3+√15),此时只有一个实根
若0<a<2,则极小值为f(2/a),
极大值为f(1)=-a/2<0,
此时只有一个实根
若a<0,
,则极小值为f(2/a),
极大值为f(1)=-a/2>0,
若f(2/a)<0,
即2/(-3-√15)<a<0,
此时有三个不等根
若f(2/a)=0,
即a=/(-3-√15),
此时有两个不等根
若f(2/a)>0,
即a<2/(-3-√15),
此时有一个实根