Question

lim x→∞，（1+x）^（1/x）的极限是多少

Answer 1

lim x→∞，（1+x）^（1/x）的极限是1。

解题过程如下：

lim x→∞，(1+x)^(1/x)

=lim x→∞，e^[ln((1+x)^(1/x))]

=lim x→∞，e^[(1/x)×ln(1+x)]

其中e的指数部分lim x→∞，(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞，[ln(1+x)]/x

∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到

lim x→∞，[1/(1+x)]/1=0

原式=lim x→∞，e^0=1

扩展资料：

在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。