Question

请教数学问题 试从dx/dy=1/y'导出：d^2x/dy^2=-y''/（y')^3 题目中关于d[1/y']/dx}*[dx/dy]的问题

d[1/y']/dx}*[dx/dy]（因为1/y'中的y'是函数y=f(x)的导数，是x的函数，所以1/y'当然也是x的函数，这个x的函数现在要对y求导，则需用复合函数的求导方法，对1/y'先对x求导，再对y求导）
既然y是x的函数为什么1/y'对x求导后，x还要对y求导，是因为反函数x也是y的函数吗
有点晕了

Answer 1

因为1/y'中的y'是函数y=f(x)的导数，是x的函数，所以1/y'当然也是x的函数，这个x的函数现在要对y求导，则需用复合函数的求导方法，对1/y'先对x求导，再对y求导!
您两边同时对y求导,即把y作为自变量,x只是中间变量,中间变量当然最终还要对自变量y求导呀!

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

反函数求导 比如y=lnx 他的反函数是y=e^x 这个可以写成x=lny 这里和前面那个y=lnx对x求导实际上就是x=lny对y求导(这里你区别下是2个独立的函数2个自变量和2个因变量)
然后x=lny里面 这个你是无法直接对y求导的 因为y是个关于x的复合函数
比如我们求个y=arcsinx的导数 x=siny dx=dsiny=cosydy dy/dx=1/cosy然后求到这里你看一下(注意这里是y不是x了) 其实如果直接带入y后会显得很复杂 需要简化一下 1/cosy=1/√(1-sinysiny)==1/√(1-x^2)
然后看下2阶导数 你在前面其实已经可以看出来了(1/f'(x))'算这个东西 你是要对y求导 不是对x求导 你看1/f'(x)这里面就没有y 所以他的导数还需要乘以x对y求导的导数 实际上就是1/f'(x)
如果你觉得还是不好理解 站在微分的角度去看吧 不管反函数的几阶导数 除以的都是dy=y'dx除以的都是这个东西 不是dx 比如二阶导数 d(dx/dy)/dy=d(1/y')/dy=(-dy'/y'^2)/y'dx
dy'=y"dx回带后就能得到你要的那个结果