Question

高等数学极限问题，急考试用

由函数的不等式性质可得：
由函数F（x）>0,G(x)>0且limF(x)/G(x)=a<1,则存在x0>0时使得当x>x0时F(x)/G(x) <1成立即当x充分大时必有F（x）<G(x)成立
我的疑问是由函数的不等式性质是怎样推出这个定理的

Answer 1

x的变化是趋向于＋∞吧？
F(x)/G(x)－1的极限是a-1＜0，所以由函数极限的不等式性质，存在x0，使得当x＞x0时，F(x)/G(x)－1＜0，所以F(x)＜G(x)

追问

请问1 F（x）>0,G(x)>0这个条件有用吗，
2还有x的变化是趋向于＋∞，如果趋于别的如x0或—∞上述定理成立吗
3题目中函数极限的不等式性质是指函数极限的局部保号性还是函数极限的保不等式性

追答

F(x)＞0可以不用，G(x)＞0在最后得到F(x)＜G(x)时用到。
自变量的变化趋势对于最后的不等式成立没有影响，只是不等式成立的范围有变化而已

追问

请问题目中函数极限的不等式性质是指函数极限的局部保号性还是函数极限的保不等式性？

追答

保号性也算是不等式性质。
在x0的一个去心邻域内f(x)＜g(x)，且x→x0时，f(x)→A，g(x)→B，则A≤B。如果g(x)或f(x)是0，则不等式性质就变成保号性了

追问

奥，知道了，还想问一下：自变量的变化趋势对于最后的不等式成立没有影响，只是不等式成立的范围有变化而已，这个范围是什么，能举下例子吗，比如题目趋于x0，范围是多少

追答

比如x→x0，那么根据极限定义，x是在x0的一个去心邻域内取值，所有最终的结果会是“存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，F(x)/G(x)＜1”。如果是x→x0＋，那就是x0的去心右邻域的样子，等等