Question

．如图在梯形ABCD中，AD//BC，CA平分∠BCD，DE//AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E． (1)求证：AB=DC；

（2）如果AF垂直BC，F为垂足，且AF等于2倍BF，AB等于根号5，求边BC的长

Answer 1

(1)DE//AC 因此∠BCA=∠E
同时CA平分∠BCD，因此2∠BCA=∠BCD
因此∠BCD=2∠E
由于∠B=2∠E
因此∠BCD=∠B
即梯形ABCD为等腰梯形
因此AB=DC
（2)AF垂直BC，F为垂足，且AF等于2倍BF，AB等于根号5
可以求sinB=2/根号5;由于∠B=2∠E=2∠BCA
∠BAC=180-1.5∠B
因此通过三角函数关系式可以求sin ∠BAC
在三角形ABC中利用
AB/Sin∠BCA=BC/Sin∠BAC 可以求得AC长
(计算过程比较复杂点）。。。。

Answer 2

（1）证明：∵DE∥AC
∴∠BCA=∠E
∵CA平分∠BCD
∴∠BCD=2∠BCA
∴∠BCD=2∠E
又∵∠B=2∠E
∴∠B=∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC

（2）解:作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则AF∥DG．
在Rt△AFB中，tanB=2
∴AF=2BF
又∵AB=根号5，且AB2=AF2+BF2∴5=4BF2+BF2，得BF=1同理可知，在Rt△DGC中，CG=1∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB又∵∠ACB=∠ACD∴∠DAC=∠ACD∴AD=DC∵DC=AB=根号5∴AD=根号5∵AD∥BC，AF∥DG∴四边形AFGD是平行四边形∴FG=AD=根号5∴BC=BF+FG+GC=2+根号5

Answer 3

∵CA平分∠BCD∴∠BCA=∠ACD∵DE//AC∴∠BCA=∠E即∠BCA=∠E=∠ACD∴∠DCB=2∠E∵∠B=2∠E∴∠DCB=∠B∴AB=DC(等角对等边）（2）解析：过D作BE垂线交BE于G∵AD//BC∴∠DAC=∠BCA∵∠BCA=∠ACD∴∠DAC=∠ACD∴AD=DC∵AB=DC(由结论1可知）∴AD=AB=根号5 ∵AF:BF=2即AF=2BF∵AF垂直于BF∴BF平方+AF平方=AB平方即BF=1，AF=2∵CG=BF(由等腰梯形可知）∴BC=2BF=FG=2+根号5