Question

高一数学数列题

RT （1）已算出an=2n+1 bn=n 求第二的详细过程 特别是算Tn的最后几步

Answer 1

（2）解：由（1）知：an=2n+1 bn=n
则cn=(2n+1)(1/2)^n,
Tn=c1+c2+c3+……+cn-1+cn
= (2×1+1)(1/2)+(2×2+1)(1/2)²+……[2(n-1)+1](1/2)^(n-1)+(2n+1)(1/2)^n
2Tn=(2×1+1)+(2×2+1)(1/2)+(2×3+1)(1/2)²……[2(n-1)+1](1/2)^(n-2)+(2n+1)(1/2)^(n-1)
2Tn-Tn=(2×1+1)+2×(1/2)+2×(1/2)²+2×(1/2)³+……+2×（1/2)^(n-1)-(2n+1)(1/2)^n
=2[1/2+(1/2)²+(1/2)³+……（1/2)^(n-1)]+3-(2n+1)(1/2)^n
=2×[(1/2)-(1/2)^n]/[1-1/2]+3-(2n+1)(1/2)^n
=2-(1/2)^(n-2)+3-(2n+1)(1/2)^n
=5-(1/2)^(n-2)-(2n+1)(1/2)^n
对任意正整数n，都有Tn+1-Tn=cn+1>0,所以最小值为T1=3/2
当n=＋∞时，Tn=5-(1/2)^(n-2)-(2n+1)(1/2)^n<5
所以Tn的取值为[3/2,5)

追问

不应该乘1/2么...

追答

请问是哪里要乘1/2？麻烦打出来或者复制出来好吗？

追问

就是从则开始数的第四行 2Tn那里...
啊 打那么多辛苦叻哦 还么谢谢乃呢
这么晚还不休息 我先去睡叻蛤~ 安

追答

哦，知道了，其实1/2Tn跟2Tn都是可以的，如果你想出其他方法也可以啊，我只是给你一个解题的思路而已，解题一般都是见仁见智的，个人有个人的办法，没有强行规定要用哪种方法的，数学是很灵活的。

Answer 2

...我好不容易在纸上写完了都照下来准备上传呢，才发现下面都有答案了...

追问

辛苦辛苦叻

Answer 3

解：
由（1）知：an=2n+1 bn=n
则Cn=(2n+1)(1/2)^n,
Tn=c1+c2+c3+……+cn-1+cn
= (2×1+1)(1/2)+(2×2+1)(1/2)²+……+[2(n-1)+1](1/2)^(n-1)+(2n+1)(1/2)^n ①
①式两边同时乘以2得：
2Tn=(2×1+1)+(2×2+1)(1/2)+.......+[2(n-1)+1](1/2)^(n-2)+(2n+1)(1/2)^(n-1) ②
由②-①可得：
2Tn-Tn=(2×1+1)+2×(1/2)+2×(1/2)²+2×(1/2)³+……+2×（1/2)^(n-1)-(2n+1)(1/2)^n
=2[1/2+(1/2)²+(1/2)³+……（1/2)^(n-1)]+3-(2n+1)(1/2)^n
=2×[(1/2)-(1/2)^n]/[1-1/2]+3-(2n+1)(1/2)^n
=2-(1/2)^(n-2)+3-(2n+1)(1/2)^n
=5-(1/2)^(n-2)-(2n+1)(1/2)^n
所以Tn=5-(1/2)^(n-2)-(2n+1)(1/2)^n
对任意正整数n，都有Tn-T(n-1)=Cn>0,所以最小值为当n=1时，Tmin=3/2
当n=＋∞时，Tn=5-(1/2)^(n-2)-(2n+1)(1/2)^n<5
所以3/2≤Tn〈5