在梯形ABCD中，AD//BC，CA平分∠BCD，DE//AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E． (1)求证：AB=DC
解：
连接BD，交AC于G点，过D作DH//AB，连接AH。
（1）求证：AB=DC
∵ CA平分∠BCD， ∴ ∠BCA=∠DCA=∠ACD/2 结论(1)
∵ DE//AC ∴ ∠E=∠BCA=∠DCA=∠ACD/2
∵ ∠B=2∠E，∠E=∠ACD/2 ∴ ∠B=∠ACD
又 ∵ 梯形ABCD中，AD//BC，
∴ 梯形ABCD等腰梯形，即：AB=DC
（2）求边BC的长
∵ 等腰梯形ABCD中，AD//BC，
∴ ∠DAC=∠BCA ， 又 ∵ 结论(1)可得到：
∴ ∠DAC=∠BCA=∠DCA=∠ACD/2
∴ AB=AD=DC 结论(2)
∵ DH//AB，AD//BC
∴ ⠀ABHD为平行四边形，并由此可得到：
AD=BH，
DH=AB
又 ∵ 结论(2)和AD//BC；可得到：
BH=DH=AB=AD=DC 结论(3)
∠B=∠BHA=∠DCB=∠DHC=∠HAD=∠ADH=∠AHD=60° 结论(4)
∴ 根据结论(4)得到：
BH=HC=DH=AB=AD=DC=BF/2 结论(5)
∵ AB=√5 （√表示根号，即为：√5表示为根号） 又 ∵ 已求得结论(5)
∴ AB=√5=BF/2
2√5=BF
即： BF=2√5
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需要说明的是：∠B=∠BHA=∠DCB=∠DHC=∠HAD=∠ADH=∠AHD=60°，可证明：
△ABH、△AHD、△DHC为全等的等边三角形。
那么，这就与题目中“且AF等于2倍BF”相矛盾。
AC平分∠BCD，则∠ACD=∠ACB=∠E
∠B=2∠E，则∠B=∠ACD+∠ACB=∠BCD
所以这是个等腰梯形
所以AB=DC
(2)从D点做高DG垂直BC于点G，则DG=AF，AD=FG
tanB=AF/BF=2，AF=2BF ①
又由勾股定理得
AF的平方+BF的平方=AB的平方 ②
解① ②得BF=1.AF=2
CG=DG/tan∠DCB=DG/tan∠B=1
又AD//BC，则∠DAC=∠BCA，
又因为∠BCA=∠DCA，则∠DAC=∠DCA
三角形DAC为等腰三角形，AD=DC=AB=√5
BC=BF+FG+GC=1+√5+1=2+√5
BC==2+√5
AC平分∠BCD，则∠ACD=∠ACB=∠E
∠B=2∠E，则∠B=∠ACD+∠ACB=∠BCD
所以这是个等腰梯形
所以AV=DC
从A点做高AH垂直BC于点H，DL垂直BC于点L，则DL=AH，AD=HL
tanB=2，AH=2BH
又由勾股定理得AH的平方+BH的平方=AB的平方
解得BH=1.AH=2
CL=DL/tan∠DCB=DL/∠B=1
又AD//BC，则∠DAC=∠BAC，
又因为∠BCA=∠DCA，则∠DAC=∠DCA
三角形DAC为等腰三角形，AD=DC=AB=根号5
BC=BH+HL+LC=2+根号5
