Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF。

（1）证明：EF=CF；
（2）当tan∠ADE=1/3时，求EF的长。

Answer 1

作一条辅助线DG垂直BC于G
则四边形ABGD是正方形，∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDC=90°
则，∠ADE=∠GDC
三角形ADE和GDC全等所以DE=DC，在证明三角形EDF和三角形CDF全等
则EF=CF
2、延长DE交CB的延长线于H（简要回答）
通过计算BC=8，HB=12即HC=20
CF：HF=DC：HD=1:3（角平分线原理）
则CF=5即EF=5

Answer 2

做辅助线
过点D做DG⊥BC
∵：∠CGD=90°，AD∥BC
∴：∠ADG=90°=∠EDC
∵∠ADE=∠ADG-∠EDG
∠CDG=∠EDC-∠EDG
∴∠ADE=∠CDG
∵AD∥BC,∠B=∠DGC=∠A=90°
∴得正方形ABDG，
∴AD=DG
∴三角形ADE≌DGC(AAS)
∴ED=DC
又∵∠EDF=∠CDF,DF=FD
∴三角形EDF≌CDF（SAS）
∴EF=CF

追问

第二个问题呢

Answer 3

：∵tan∠ADE=AEAD=13，
∴AE=GC=2．
∴BC=8，
设CF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=4．
由勾股定理得x2=（8-x）2+42，
解得x=5，
即EF=5．

Answer 4

做辅助线
过点D做DG⊥BC
∵：∠CGD=90°，AD∥BC
∴：∠ADG=90°=∠EDC
∵∠ADE=∠ADG-∠EDG
∠CDG=∠EDC-∠EDG
∴∠ADE=∠CDG
∵AD∥BC,∠B=∠DGC=∠A=90°
∴得正方形ABDG，
∴AD=DG
∴三角形ADE≌DGC(AAS)
∴ED=DC
又∵∠EDF=∠CDF,DF=FD
∴三角形EDF≌CDF（SAS）
∴EF=CF