Question

关于拉格朗日函数的疑问

自由粒子的拉格朗日函数是它的动能，这是由惯性定律推出，但是为什么不能是速度的三次函数和更高次函数而一定是二次函数，这只是因为物理上的方便还是在数学上是必然的（通过伽利略坐标变换和伽利略相对性原理）

Answer 1

其实可以是四次方的。
根据伽利略相对性原理和各向同性，拉格朗日函数只应该和速率有关（速度方向无关，因为各向同），因此拉格朗日函数应该定义为速度的绝对值（即速率）的函数。但显然绝对值太过麻烦（涉及微分和积分），因此定义成二次方。当然也可以定义为四次方（三次方是不行的，因为那样就要涉及到速度的方向了）、八次方等。为了简便，只定义为二次方。
其实物理中，很多东西都是人的创造，比如牛顿第二定律，其实也未必要弄成线性的，二次的，三次的也是可以的，只不过质量或者力的定义跟我们现在的不同而已。当然，线性是最简便的。

Answer 2

既然这个式子是推出来的，推出来是2次就是2次啊。如果推出来3次，你会不会问“为什么不能是2次或者4次”？
你的问题是不是“为什么动能是2次的”？
如果是这个问题的话，能量和做功能相互转化，而做功定义为力对路径的积分。也就是加速度对路径的积分，a=dv/dt, ds=vdt, 积分完了就能得到 \int a ds = \int v dv = v^2/2
这就是 mv^2/2 的由来。

追问

你没有理解到我的意思，因为你的解释假设了力是路径积分，这本身就是一个（为了方便产生的）定义了