Question

如图，AD是三角形的边BC上的高，AB加BD=AC加CD,证明三角形ABC是等腰三角形

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Answer 1

解：由勾股定理，
AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，其中
AB^2-BD^2=（AB+BD）（AB-BD）
AC^2-CD^2=（AC+CD）（AC-CD），
由于AB+BD=AC+CD ①
则AB-BD=AC-CD ②
①+②得2AB=2AC，
即AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。
所以

Answer 2

∵AC是BC上的高
∴AD⊥BC
∠ADS＝∠ADC=90°
在直角△ABD中
AD²=AB²-BD²=(AB+BD)×（AB-BD)
在直角△ACD中
AD²=AC²-CD²=(AC+CD)×（AC-CD)
∴(AB+BD)×（AB-BD)=(AC+CD)×（AC-CD)
又∵AB+BD=AD+CD①
AB-BD=AC-CD②
把方程①+②得
AB=AC
∴△ABC是等腰三角形

Answer 3

AB+BD=AC+CD等式两边同时乘以（AB-BD）（AC-CD）变成
（AB+BD）（AB-BD）（AC-CD）=（AC+CD）（AB-BD）（AC-CD）
进一步变成（AB的平方-BD的平方）（AC-CD）=（AC的平方-CD的平方）（AB-BD）
AB的平方-BD的平方等于AD的平方，AC的平方-CD的平方也等于AD的平方。等式两边抵消后
AC-CD=AB-BD 又 因为AB+BD=AC+CD，可得AB=AC，故三角形是等腰三角形。

Answer 4

因为AD是高，所以两个直角三角形中AB2-BD2=AC2-CD2即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)所以AB-BD=AC-CD,与已知的式子相加的AB=AC

Answer 5

根据题意有：
AB+BD=AC+CD
两边平方得到：
AB^2+BD^2+2AB*BD=AC^2+CD^2+2AC*CD....(1)
因为AD是高，所以有：
AB^2=AD^2+BD^2;
AC^2=AD^2+CD^2.
把上述两式代入到（1）得到：
AD^2+2BD^2+2AB*BD=AD^2+2CD^2+2AC*CD
化简得到：
2BD（BD+AB)=2CD(CD+AC)
因为：AB+BD=AC+CD...(3)
所以得到：BD=CD....(4)
将（4）代入（1），即可得到AB=AC,
所以为等腰三角形。