Question

证明三角形三条中线交于一点,这点和各边中点的距离等于这边上中线的1/3

Answer 1

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的 重心 。
三角形的重心是各中线的交点， 重心定理 是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。
假设有n个物体组成的物体系，重量为wi,位于ri（矢量，下同）,i=1,2,...n. 则这个物体系的重心为r:
r=(w1r1+w2r2+...wnrn)/(w1+w2+...+wn)
这就是最一般的重心计算公式
物理学中可以使用微积分求出中心所在坐标。
如果知道A（x1，y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3，z3）。则其重心的坐标就为{(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3,(z1+z2+z3)/3}
利用三角形的相似性可以很快得到证明。
△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。
∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。
∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH／AE=DH／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)
∴HF=DF／2 , BE=BC／2， 又可由①知HF=BE／2
∴HF//BE.
又∵∠BGE=∠FGH。
∴△BGE∽△FGH
∴BG/GF=BE/HF=2。
∴BG=（2/3）BF
已知，在△ABC中，BD为AC中线，CE为AB中线，BD、CE交于点O，
求证BC的中线AF过点O。
延长AO交BC于F'
作BG平行EC交AO延长线于G
则因E为AB中点,所以O为AG中点
连接GC,则在三角形AGC中,OD是中位线
BD平行GC
所以BOCG为平行四边形
F'平分BC
F'与F重合
BC的中线AF过点O。

Answer 2

重心
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的的重心。三角形的重心到各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。

Answer 3

已知，在△ABC中，BD为AC中线，CE为AB中线，BD、CE交于点O，
求证BC的中线AF过点O。

延长AO交BC于F'
作BG平行EC交AO延长线于G
则因E为AB中点,所以O为AG中点
连接GC,则在三角形AGC中,OD是中位线
BD平行GC
所以BOCG为平行四边形
F'平分BC
F'与F重合
BC的中线AF过点O。

利用三角形的相似性可以很快得到证明。 　
　△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 　　
∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。 　　
∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，
∴H为DF中点（可证AH／AE=DH／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF) 　
　∴HF=DF／2 , BE=BC／2，
又可由①知HF=BE／2 　　
∴HF//BE. 　　
又∵∠BGE=∠FGH。 　　
∴△BGE∽△FGH 　　
∴BG/GF=BE/HF=2。 　
　∴BG=（2/3）BF