Question

已知P为三角形ABC所在平面内一点,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延长AP交BC于点D，

若向量AB=向量a，向量AC=向量b。（1）用向量a、向量b表示向量AP、向量AD，(2)根据以上结果，填空S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=---:-----:----

Answer 1

(1)向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.
根据向量的减法可知：向量AP+2向量(AP-AB)+3向量(AP-AC)=向量0.
即6AP-2AB-3AC=0，
向量AP=1/3AB+1/2AC=1/3a+1/2b.

向量AD与向量AP共线，所以存在唯一实数m,使得
向量AD=m向量AP=m(1/3a+1/2b)= 1/3ma+1/2mb.

向量BD与向量BC共线，所以存在唯一实数n,使得
向量BD=n向量BC=n(AC-AB)=n(b-a),
又向量AD=AB+BD=a+ n(b-a)=(1-n)a+nb.

综上可知；向量AD=1/3ma+1/2mb=(1-n)a+nb.
所以1/3m=(1-n)，1/2m=n，
解得m=6/5,n=3/5.

所以向量AD=1/3ma+1/2mb=2/5a+3/5b.

(2)由(1)可知：向量BD=3/5向量BC, 向量AD=6/5向量AP.
所以△PBD与△PDC的高相同，底边BD与DC的比是3:2，
所以二者的面积比是3:2，
设△PBD的面积是3S, 则△PDC的面积是2S。

△PBD与△ABP的高相同，底边PD与AP的比是1:5，
所以△ABP的面积是15S.
△PDC与△ACP的高相同，底边PD与AP的比是1:5，
所以△ABP的面积是10S.

∴S三角形PAB:S三角形PBC:S三角形PAC=15S:5S:10S=3:1:2.