Question

如图，在三角形OAB中，已知P为线段AB上的一点，且|向量AP|=n/m|向量PB|.

1.试用向量OA,向量OB表示向量OP;2若|向量OA|=3,|向量OB|=2,且∠AOB=60°，求向量OP乘向量AB.

Answer 1

1)定比分点，向量分解定理
不妨设k=n/m
AP=kPB
OP-OA=k(OB-OP)
(1+k)OP=OA+kOB
OP=1/(1+k)*OA+k/(1+k)*OB
OP=1/(1+n/m)*OA+(n/m)/(1+n/m)*OB
OP=m/(m+n)*OA+n/(m+n)*OB

2)
OA*OB=3*2*cos60=3
OP*AB=( 1/(1+k)*OA+k/(1+k)*OB )*(OB-OA)
=-1/(1+k)*OA^2+k/(1+k)*OB^2+(1-k)/(1+k)*OA*OB
=-9/(1+k)+4k/(1+k)+(6-6k)/(1+k)
=-(3+2k)/(1+k)
代入k=n/m即可
得到：原式=-(3m+2n)/(m+n)