Question

已知一个二次函数的图像经过A（4，-3），B（2,1）C（-1，-8）三点。

已知一个二次函数的图像经过A（4，-3），B（2,1）C（-1，-8）三点。
（1）求二次函数解析式及图像与X轴的交点M、N（M在N的左边）的坐标；
（2）以线段MN为直径作圆G，过原点O作圆G的切线OD，切点为D，求OD的长；
（3）求直线OD的解析式；
（4）在线段OD上是否存在点P，使△MNP是直角三角形？若存在，写出P点坐标（直接写出结果，不必写出解答过程）；若不存在，说明理由。（大家最好画个图，写在纸上之后用相机照下来传上来。）
图片：

Answer 1

^代表指数 

第一问：

设方程为y=ax^2+bx+c

则

-3=16a+4b+c

1=4a+2b+c

-8=a-b+c

解得

a=-1

b=4

c=-3

二次函数解析式为：y=-x^2+4x-3

0=-x^2+4x-3

解得

x1=1，x2=3

交x轴为(1,0)(3,0)两点

第二问：

MN的中点为G(2,0)

线段MN为直径的圆圆心为(2,0)，半径为1

方程为：(x-2)^2+y^2=1

OD^2=OG^2-r^2=2^2-1=3

OD=√3

第三问

OD所在直线的斜率为±r/OD=±√3/3

直线过原点

方程为y=(√3/3)x或者y=-(√3/3)x

第四问

存在P点使△MNP是直角三角形，

如图P的坐标为(1,√3/3)或者(1,-√3/3)