Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2√3的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点……

（1）求证AC⊥SB
（2）求三棱锥B-CMN的体积

Answer 1

取AC中点E。连结SE、BE，
SA=SC=2，
三角形SAC是等腰三角形，
故SE⊥AC，
又平面SAC⊥平面ABC，
故SE⊥平面ABC，
BE∈平面ABC，
故SE⊥BE，
SE∩BE=E，
故AC⊥平面BES，
SB∈平面SBE，
∴AC⊥SB。
2、AE=AC/2=√3，
SA=2，
根据勾股定理，
SE=1，
S△ABC=（√3/4）*（2√3）^2=3√3,
∴VS-ABC=S△ABC*SE/3=√3.

Answer 2

1）证明：
在AC上找到中点D，连接SD和BD。
∵平面SAC⊥平面ABC，AS=SC，AD=CD。
∴SD⊥AC，
又∵AC为平面SAC和平面ABC的交线
∴SD⊥平面ABC，BD为BS在平面ABC上的射影。
又∵△ABC为正三角形
∴BD⊥CA
∴AC⊥SB。
2）∵M为AB的中点，AB=2√3，
∴S△BNM=3√3/2;
∵BD为SB在平面ABC上的射影，则三棱锥N-CMB的高在平面SBD上设为L，且L∥SD
又∵N为SB的中点
∵L∥=1/2SD=1/2.
∴V三棱锥N-CMB=V B-CMN=1/3S△BNM*L=√3/4.
ok,结束。