Question

已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，AB与面SBC所成角的正弦值

Answer 1

解：作BC中点D，连结AD,SD，过点A作AE⊥SD,垂足为E,连结BE
因为AB=AC=BC=2,所以AD⊥BC且AD=√3/2 *AB=√3
又SA⊥底面ABC，则斜线SD在底面ABC内的射影为AD
所以由三垂线定理得SD⊥BC
又AD⊥BC,则BC⊥平面SAD
因为AE在平面SAD内，所以BC⊥AE
又AE⊥SD,所以AE⊥平面SBC
则AB在平面SBC内的射影为BE
即∠ABE就是AB与面SBC的所成角
在Rt△SAD中，SA=3,AD=√3,则由勾股定理得SD=√(9+3)=2√3
又面积S△SAD＝1/2 *SA*AD=1/2 *AE*SD
则AE=SA*AD/SD=3*√3/(2√3)=3/2
所以在Rt△ABE，sin∠ABE＝AE/AB=(3/2)/2=3/4
即AB与面SBC所成角的正弦值为3/4

Answer 2

取BC中点D，在SD上取点E，使得AE垂直SD，不难得出AE垂直面SBC，因此角ABE为AB与面SBC所成角，AE=3/2，sin∠ABE=AE/AB=3/4

Answer 3

做垂直 利用正三角形性质