Question

如果函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0,且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是（）

Answer 1

f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)=(a^x)^2-(3a^2+1)a^x

令t=a^x,则f(x)=t^2-(3a^2+1)t是关于t的二次函数,对称轴t=(3a^2+1)/2

若a>1,t=a^x是单调增的(t>=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在[1,+无穷大)上单调增

∴对称轴t=(3a^2+1)/2<=1

∴a^2<=1/3(舍)

若0<a<1,t=a^x是单调减的(0<t<=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在)(0,1]上单调减

∴对称轴t=(3a^2+1)/2>=1

∴a^2>=1/3

∴√3/3<=a<1

综上,a的范围为[√3/3,1)