Question

在平面直角坐标系中 边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴，X轴的正半轴上，点O在原点

现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x点M。BC边交x轴于点N。
2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数。（过程）
（3）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？说明理由。

Answer 1

：（1）由题意知，poc 、pad 均为等腰直角三角形，
可得 p(3,0)、 c(0,3)、 D(4,1） 1分
设过此三点的抛物线为y=ax^2+bx+c ，
则 a=1/2 b=-5/2 c=3
∴过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为：Y=1/2X^2-5/2X+3 3分
（2）由已知PC平分<OPE ，PD 平分<APE ，且PE 、PF 重合，则<CPD=90 ．
∴ <OPC+<APD =90，又 <APD+<ADP=90
∴ <OPC=<．
∴RT POC相似于rt DAP ．
∴OP/AD=OC/AP ，即 3/X=4-X/Y 5分
∵ y=1/3X(4-x）=-1/3(x-2)^2+4/3
∴当X=2 时，Y 有最大值 4/3． 7分
（3）假设存在，分两种情况讨论：
①当 <DPQ=90时，由题意可知<DPC=90 ，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求点 为Q（0，3） 8分
②当 <pdq=90时，过点d 作平行于pc 的直线dq ，假设直线 dq交抛物线于另一点 q，交 pe于g 点
∵点 p(3,0)、C(0,3) ，
∴直线pc 的方程为y=-x+3 ，
∴ pa=da=1，
∴pd=dg=√2 ．
∴pc=2 ，将直线 向上平移2个单位与直线 重合，
∴直线 的方程为：y=-x+5 10分
1/2X^2-5/2X+3 =-x+5
x1=-1 x2=4(舍)
Q(-1,6)